Teil B · Transfer und Beweisketten

Sei $\mathcal F$ eine endliche Familie nichtleerer Mengen. Wähle eine inklusionsmaximale paarweise disjunkte Teilfamilie $\mathcal M$. Zeige, dass jede Menge aus $\mathcal F$ die Vereinigung der Mengen aus $\mathcal M$ schneidet.

Beweise erneut unter Prüfungsbedingungen: Jeder endliche Graph besitzt eine Bipartition, bei der mindestens die Hälfte aller Kanten zwischen den beiden Teilen verläuft.

Eine endliche Punktmenge in der Ebene enthält mindestens drei nicht kollineare Punkte. Zeige, dass es eine Gerade durch zwei Punkte der Menge gibt, sodass alle übrigen Punkte in derselben abgeschlossenen Halbebene liegen.

Beweise mit einem kleinsten Gegenbeispiel, dass es keine positiven ganzen Zahlen $a,b$ mit $a^2=2b^2$ gibt, und folgere, dass $\sqrt2$ irrational ist.