Ordnungs-Training

Seien $x_1<x_2<\cdots<x_n$ reelle Zahlen. Zeige, dass der kleinste Abstand zweier Zahlen von einem benachbarten Paar $x_i,x_{i+1}$ angenommen wird.

Bestimme in $\{1,4,10,11,20\}$ die kleinste positive Differenz, ohne alle zehn Paare zu prüfen.

In einem Intervall der Länge $L$ liegen $n\ge2$ verschiedene Punkte. Zeige, dass zwei von ihnen Abstand höchstens $L/(n-1)$ haben.

Für $x_1<\cdots<x_n$ zeige, dass eine Nachbarlücke mindestens $(x_n-x_1)/(n-1)$ beträgt.

Zeige: Ist eine Folge verschiedener Zahlen nicht streng aufsteigend, dann besitzt sie ein benachbartes Paar $a_i>a_{i+1}$.

In einer Permutation werden zwei benachbarte Werte $a_i>a_{i+1}$ vertauscht. Zeige, dass die Gesamtzahl der Inversionen genau um 1 sinkt.

Solange eine Permutation nicht aufsteigend ist, vertausche irgendeine benachbarte Inversion. Zeige, dass der Prozess endet und eine aufsteigende Folge liefert.

Unter $n+1$ Punkten im Intervall $[0,1]$ gibt es zwei mit Abstand höchstens $1/n$. Gib je einen Beweis über Lücken und über Schubfächer.