Mengenfamilien-Training

Eine nichtleere endliche Mengenfamilie $\mathcal F$ ist gegeben. Begründe, dass ein Mitglied größter Kardinalität existiert.

In einer endlichen Mengenfamilie wähle eine längste strikte Inklusionskette $A_1\subsetneq\cdots\subsetneq A_k$. Was gilt für Familienmitglieder, die echt in $A_1$ liegen oder $A_k$ echt enthalten?

Zeige, dass jede endliche Mengenfamilie eine bezüglich Inklusion maximale paarweise disjunkte Teilfamilie besitzt.

Sei $\mathcal D$ eine maximale paarweise disjunkte Teilfamilie von $\mathcal F$. Zeige, dass jedes Mitglied von $\mathcal F\setminus\mathcal D$ mindestens eine Menge aus $\mathcal D$ schneidet.

Eine endliche Grundmenge $X$ wird von einer endlichen Familie überdeckt. Zeige, dass eine inklusionsminimale überdeckende Teilfamilie existiert.

Zeige: In einer inklusionsminimalen Überdeckung besitzt jede gewählte Menge einen Punkt, der in keiner anderen gewählten Menge liegt.

Eine maximale disjunkte Teilfamilie hat $r$ Mitglieder. Erkläre, warum ihre Vereinigung jede Menge der Ausgangsfamilie berührt, aber nicht notwendig die gesamte Grundmenge enthält.

Formuliere eine Prüfroutine für größte Mengen, längste Ketten, maximale disjunkte Familien und minimale Überdeckungen.