Wohlordnungs-Training

Sei $n>1$. Wähle den kleinsten Teiler $d>1$ von $n$ und beweise, dass $d$ prim ist.

Zeige, dass jede ganze Zahl $n>1$ mindestens einen Primteiler besitzt.

Für ganze Zahlen $n$ und $m>0$ beweise die Existenz von $q,r$ mit $n=qm+r$ und $0\le r<m$.

Für positive $a,b$ sei $d$ die kleinste positive Zahl der Form $ax+by$ mit $x,y\in\mathbb Z$. Zeige, dass $d\mid a$ und $d\mid b$.

Zeige, dass die kleinste positive Linearkombination aus Aufgabe 4 gleich $\gcd(a,b)$ ist.

Seien $\gcd(a,b)=1$ und $a\mid bc$. Beweise $a\mid c$.

Sei $p$ prim und $p\mid ab$. Zeige: $p\mid a$ oder $p\mid b$.

Formuliere eine Checkliste für Beweise mit kleinstem Teiler, kleinstem Rest oder kleinster positiver Linearkombination.