Zahlentheorie-Beweiswerkstatt

Zeige, dass es keine positiven ganzen Zahlen $x,y$ mit $x^2=2y^2$ gibt.

Auditiere den Abstieg aus Aufgabe 1: Welche vier Eigenschaften der neuen Lösung sind nötig?

Beweise: Jede ganze Zahl $n>1$ ist ein Produkt von Primzahlen.

Vergleiche den Beweis über den kleinsten Teiler mit dem Beweis über Primfaktorzerlegung. Welcher ist direkter für die bloße Existenz eines Primteilers?

Im Minimalbeweis zur Primfaktorzerlegung wird $n=ab$ mit $1<a,b<n$ benutzt. Begründe jede strikte Ungleichung.

Angenommen, eine homogene Gleichung in positiven ganzen Variablen zwingt, dass jede Lösung durch 3 teilbare Variablen besitzt. Erkläre, wann daraus ein unendlicher Abstieg folgt.

Seien $a,b,c>0$, $\gcd(a,b)=1$ und $a\mid b^2c$. Zeige aus der zusätzlichen Annahme $\gcd(a,b^2)=1$, dass $a\mid c$.

Formuliere eine Entscheidungsroutine: kleinster Teiler, kleinste Linearkombination, kleinstes Gegenbeispiel oder Lösungsabstieg?