Geometrie-Training

Zeige, dass unter sieben Punkten auf einem Kreis zwei einen Zentriwinkel von höchstens $360^\circ/7$ einschließen.

Zeige: Unter $N$ Punkten auf einem Kreis besitzen zwei einen kleineren Zentriwinkel von höchstens $2\pi/N$.

13 Punkte liegen auf einem Kreis mit Radius 1. Zeige, dass zwei euklidischen Abstand höchstens $2\sin(\pi/13)$ besitzen.

Sieben Punkte liegen in einer Kreisscheibe vom Radius 1. Zeige, dass zwei Abstand höchstens 1 besitzen.

Zehn Punkte liegen in einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 1. Zeige, dass zwei Abstand höchstens $1/3$ besitzen.

Zeige: Unter $n^2+1$ Punkten in einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge $L$ besitzen zwei Abstand höchstens $L/n$.

Ein Rechteck hat Seitenlängen $a,b$ und wird durch $m-1$ vertikale sowie $n-1$ horizontale Linien gleichmäßig geteilt. Zeige: Unter $mn+1$ Punkten besitzen zwei Abstand höchstens $\sqrt{(a/m)^2+(b/n)^2}$.

37 Punkte liegen in einer Kreisscheibe vom Radius 3. Zeige, dass zwei Abstand höchstens 3 besitzen.