Restklassen-Training

Zeige, dass unter acht ganzen Zahlen zwei eine durch 7 teilbare Differenz besitzen.

Zeige, dass unter elf ganzen Zahlen zwei dieselbe letzte Dezimalziffer besitzen.

Zeige, dass unter 13 ganzen Zahlen mindestens drei denselben Rest modulo 6 besitzen.

Aus $\{1,2,\ldots,10\}$ werden sechs Zahlen gewählt. Zeige, dass zwei eine durch 5 teilbare Differenz besitzen.

Zeige: Unter $m+1$ ganzen Zahlen gibt es zwei, deren Differenz durch $m$ teilbar ist.

Zeige, dass unter 101 ganzen Zahlen zwei eine durch 100 teilbare Differenz besitzen.

Zeige, dass $m$ Zahlen im Allgemeinen nicht genügen, um eine durch $m$ teilbare Differenz zweier verschiedener Zahlen zu garantieren.

Wie viele ganze Zahlen garantieren mindestens fünf mit demselben Rest modulo 7? Beweise die Minimalität.