Präfixsummen-Training

Zeige: In jeder Folge von fünf ganzen Zahlen gibt es einen nichtleeren zusammenhängenden Block, dessen Summe durch 5 teilbar ist.

Zeige, dass jede Folge von acht ganzen Zahlen einen nichtleeren zusammenhängenden Block mit durch 8 teilbarer Summe enthält.

Finde in der Folge $3,1,4,1,5$ einen nichtleeren zusammenhängenden Block mit durch 5 teilbarer Summe.

Warum reicht es im allgemeinen Beweis nicht, nur nach zwei gleichen Resten unter $S_1,\ldots,S_n$ zu suchen?

Zeige, dass jede Folge von 100 ganzen Zahlen einen nichtleeren zusammenhängenden Block mit durch 100 teilbarer Summe enthält.

Zeige für jedes $n\ge1$: Jede Folge von $n$ ganzen Zahlen enthält einen nichtleeren zusammenhängenden Block, dessen Summe durch $n$ teilbar ist.

Erkläre, warum der Präfixsatz auch gilt, wenn einige oder alle Folgenglieder negativ sind.

Zeige: In jeder Anordnung der Zahlen $1,2,\ldots,n$ gibt es einen nichtleeren zusammenhängenden Block, dessen Summe durch $n$ teilbar ist.