Notiere alle relevanten Zustandsdaten und jeden erlaubten Zug – klar und vollständig.

Berechne für jeden erlaubten Zug die Änderung deiner Größe – nur bei Änderung null ist sie eine Invariante.

Unterschiedliche Invariantenwerte von Start und Ziel zeigen: Es gibt keinen erlaubten Zugweg dazwischen.

Änderungen um gerade Zahlen bewahren die Parität – oft die einfachste Invariante.

Sind alle Zugänderungen durch $m$ teilbar, bleibt der Rest modulo $m$ invariant.

Gewichte die Koordinaten so, dass sich die gewichteten Zugänderungen gegenseitig aufheben.

Alle erreichbaren Werte liegen in derselben Restklasse modulo dem ggT aller erlaubten Änderungen.

Wenn jeder Zug genau so viel hinzufügt wie entfernt, bleibt die Gesamtsumme erhalten.

Plus- und Minuszeichen fangen Änderungen ein, die eine gewöhnliche Summe nicht sieht.

Zwei unabhängige Invarianten trennen Zielzustände stärker als eine einzelne.

Wähle die Gewichte so, dass ihr Skalarprodukt mit jedem Zugvektor null ist.

Gewichte sagen, wie wertvoll ein Objekt an jeder Position ist; ein legaler Zug muss dieselbe gewichtete Gesamtmenge bewahren.

Lineare Invarianten sind genau die Gewichtsvektoren, die zu allen Zugvektoren orthogonal sind.

Färbe nach der Parität von Zeile plus Spalte: benachbarte Felder werden verschieden, Dominos farblich kontrollierbar.

Statt die genaue Position zu verfolgen, kontrollierst du nur, ob jeder Zug die Farbklasse bewahrt oder wechselt.

Ganze Zeilen oder Spalten erhalten dieselbe Farbe, damit unterschiedliche Orientierungen eines Teils sichtbar werden.

Bei mehreren Farben beschreibst du den Zustand durch die Anzahlen (oder gewichteten Anzahlen) aller Farbklassen.

Koordinatenreste modulo $m$ erzeugen eine periodische Färbung, die längere Teile und größere Sprünge sichtbar macht.

Eine Überdeckung ist nur möglich, wenn die Summe der Teilsignaturen genau zur Signatur des Gebiets passt.

Die gewünschte Aussage bestimmt, welche Teile oder Züge gleich und welche unterschiedlich bewertet werden.

Zustände werden Knoten, erlaubte Züge Kanten; Erreichbarkeit heißt: Es gibt einen gerichteten Weg.

Vorgänger des Ziels zeigen, welche Bedingungen kurz vor dem Ziel erfüllt sein müssen.

Alle Zustände mit demselben Invariantenwert bilden eine Faser; erst eine Konstruktion zeigt, ob sie eine einzige Erreichbarkeitsklasse ist.

Bei umkehrbaren ganzzahligen Zügen ist eine Differenz erreichbar, wenn sie eine ganzzahlige Linearkombination der Zugvektoren ist.

Nach der notwendigen Bedingung gibst du einen Algorithmus an, der jeden zulässigen Zustand tatsächlich erreicht.

Erlaubte Züge vereinfachen jeden Zustand schrittweise; gleiche Normalformen gehören zur selben Erreichbarkeitsklasse.

Notwendige Invarianten und hinreichende Konstruktionen verbindest du zu einer Genau-dann-wenn-Aussage.

Eine Stellung ist gewonnen, wenn ein Zug in eine Verluststellung führt; verloren, wenn jeder Zug in eine Gewinnstellung führt.

Bei Ergänzungszügen hältst du nach jeder eigenen Antwort die Spielgröße in einer festen Restklasse.

Nach jedem gegnerischen Zug gibst du eine legale Antwort an, die die Strategie-Invariante wiederherstellt.

Die kontrollierte Eigenschaft muss nicht nach dem gegnerischen Halbzug gelten – aber nach jeder eigenen Antwort stellst du sie wieder her.

Eine feste Paarung gibt zu jedem gegnerisch gewählten Objekt einen eindeutigen Antwortpartner.

Eine Symmetrie paart Züge: Auf einen Zug in einer Hälfte folgt der gespiegelte Zug in der anderen.

Eine vollständige Strategie zeigt Startkontrolle, Antwort auf jeden Gegnerzug, Legalität, Terminierung und Gewinn.

Jede Kante trägt zu genau zwei Graden je 1 bei – deshalb ist die Zahl ungerader Grade immer gerade.

Ein geschlossener Weg überquert jede Grenze zwischen einer Knotenmenge und ihrem Komplement gerade oft.

Jeder Schritt wechselt die Farbklasse; die Parität der Weglänge entscheidet, ob die Endpunkte gleich- oder verschiedenfarbig sind.

Starre Bewegungen bewahren alle paarweisen Abstände; die sortierte Abstandsliste trennt nicht kongruente Konfigurationen.

Verschiebungen und Drehungen erhalten den Drehsinn; Spiegelungen kehren ihn um.

Zerschneiden und lückenloses Umlegen bewahren die Summe der Teilflächen.

Bleibt eine Grundseite fest und bewegt sich der Gegenpunkt parallel, bleiben Höhe und Dreiecksfläche gleich.

Eine kleine Zahl von Invarianten- oder Restklassen komprimiert viele Objekte; das Schubfachprinzip erzwingt gleiche Klassenwerte.

Eine unendliche Folge in einem endlichen Zustandsraum wiederholt einen Zustand und erzeugt einen Zyklus.

Die Invariante liefert eine notwendige Bedingung; ein expliziter Algorithmus zeigt, dass sie auch ausreicht.

Eine Größe hält den Prozess in der richtigen Klasse, eine zweite streng monotone Größe erzwingt Terminierung.

Ersetzt du die größere Zahl durch ihre positive Differenz, bleibt der ggT und die Summe sinkt.

Die Wahl eines größten, kleinsten oder komplexesten Objekts macht einen lokalen Reduktionszug möglich, ohne die Invariantenklasse zu verlassen.

Jeder Übergang benennt Voraussetzung, Zwischenergebnis und die Aufgabe der nächsten Methode.

Signalwörter, Zustandsmodell und Zugänderungen entscheiden, ob Parität, Reste, Gewichte, Färbung oder eine Methoden­kette sinnvoll ist.

Die Form der Zugänderungen führt dich zu Summen, Resten, linearen Gewichten, Farben, Graphparitäten oder Strategie-Invarianten.

Ein einziger legaler Zug mit verändertem Kandidatenwert genügt als Gegenbeispiel – danach reparierst du die Behauptung.

Definition, Zugprüfung, Startwert, Zielwert und Schluss erscheinen als explizite, logisch getrennte Beweisschritte.

Ein festes Zeitbudget trennt schnelle Kandidatentests, vertiefte Suche, Beweis und Endkontrolle.

Der Schlusscheck prüft Gültigkeit, Vollständigkeit, Voraussetzungen und die genaue Reichweite jeder Folgerung.