60-Punkte-Abschluss

100 Münzen zeigen zunächst Zahl. Pro Zug werden genau zwei Münzen gewendet. Kann schließlich genau eine Münze Kopf zeigen?

Aus $(1,1)$ sind beliebig oft die umkehrbaren Züge $(x,y)\mapsto(x+3,y-2)$ und $(x,y)\mapsto(x-3,y+2)$ erlaubt. Kann $(7,-2)$ erreicht werden?

Von einem $10\times10$-Schachbrett werden zwei gegenüberliegende Eckfelder entfernt. Zeige, dass der Rest nicht mit Dominos überdeckt werden kann.

Von 2024 Steinen nehmen zwei Personen abwechselnd 1, 2 oder 3; wer den letzten Stein nimmt, gewinnt. Bestimme die Gewinnerin oder den Gewinner bei perfektem Spiel und beweise die Strategie.

Ein zusammenhängender Graph besitzt genau vier Knoten ungeraden Grades. Zeige, dass kein Weg jede Kante genau einmal benutzt.

Auf $\mathbb Z^2$ sind die umkehrbaren Züge $(2,1)$ und $(1,2)$ erlaubt. Charakterisiere alle von $(0,0)$ erreichbaren Punkte.

Ein markiertes, nicht gleichschenkliges Dreieck soll nur durch Verschiebungen und Drehungen so bewegt werden, dass zwei markierte Eckpunkte vertauscht und der dritte wieder auf seinen ursprünglichen Punkt abgebildet wird. Zeige, dass dies unmöglich ist.

Für positive ganze Zahlen $(a,b)$ wird stets die größere durch die positive Differenz ersetzt. Zeige, dass der Prozess bei $(d,d)$ mit $d=\gcd(a,b)$ endet, und benenne exakt Invariante und Monovariniante.