Summeninvarianten-Training

Drei Gefäße enthalten zusammen 24 Liter Wasser. Ein Zug gießt eine beliebige ganze Literzahl von einem Gefäß in ein anderes, ohne Wasser zu verlieren. Kann der Zustand $(4,7,13)$ aus $(8,8,8)$ entstehen, soweit es die naheliegende Invariante betrifft?

Auf fünf Plätzen liegen Chips. Ein Zug nimmt zwei Chips von einem Platz und legt je einen auf seine beiden Nachbarn. Zeige, dass die Gesamtzahl der Chips erhalten bleibt.

Auf sechs Feldern stehen ganze Zahlen. Ein Zug addiert 1 zu zwei benachbarten Feldern. Finde eine signierte Summe, die invariant bleibt.

Aus $(0,0,0,0)$ darf jeweils zu zwei benachbarten Koordinaten 1 addiert werden. Kann $(0,0,0,1)$ erreicht werden?

In einer $2\times2$-Tabelle addiert ein Zug dieselbe ganze Zahl zu beiden Einträgen einer gewählten Zeile. Zeige, dass die Differenz der beiden Spaltensummen invariant bleibt.

Vier Schachteln enthalten $(3,5,7,9)$ Hölzer. Pro Zug wandern drei Hölzer aus einer Schachtel in eine andere. Warum ist $(4,5,7,8)$ unmöglich?

Auf $2n$ Plätzen eines Rings stehen ganze Zahlen. Ein Zug erhöht zwei benachbarte Zahlen um denselben Wert. Zeige eine Invariante und leite eine notwendige Bedingung dafür ab, alle Zahlen gleich zu machen.

Erlaubt sind die Züge $(a,b,c)\mapsto(a+1,b-1,c)$ und $(a,b,c)\mapsto(a,b+2,c-2)$. Finde zwei lineare Invarianten modulo geeigneter Zahlen und zeige, dass $(0,0,0)$ nicht in $(1,0,-1)$ überführt werden kann.