Mehrfärbungs-Training

Färbe das Feld $(i,j)$ mit der Farbe $i+j\pmod3$. Welche Farben liegen auf drei aufeinanderfolgenden Feldern einer Zeile oder Spalte?

Zeige: Kann ein Gittergebiet mit waagerechten und senkrechten $1\times3$-Trominos überdeckt werden, so enthält es bei der Färbung $i+j\pmod3$ gleich viele Felder jeder Farbe.

Aus einem $6\times6$-Brett werden drei Felder derselben Farbe der Färbung $i+j\pmod3$ entfernt. Zeige, dass der Rest nicht mit $1\times3$-Trominos überdeckt werden kann.

Färbe ein Gitter nach dem Paar $(i\bmod2,j\bmod2)$. Zeige, dass jedes achsenparallele $2\times2$-Quadrat genau ein Feld jeder der vier Farben bedeckt.

Von einem $6\times6$-Brett werden vier Felder entfernt, die bei der Färbung $(i\bmod2,j\bmod2)$ alle dieselbe Farbe haben. Kann der Rest mit $2\times2$-Quadraten überdeckt werden?

Entwirf für ein beliebiges $k\ge2$ eine Färbung, bei der jeder waagerechte oder senkrechte $1\times k$-Stab genau ein Feld jeder Farbe bedeckt.

Eine Figur darf auf dem ganzzahligen Gitter nur um $(2,1)$ oder $(-2,-1)$ ziehen. Zeige, dass sie von $(0,0)$ aus niemals $(1,1)$ erreicht.

Ein Gebiet soll mit waagerechten und senkrechten $1\times4$-Stäben überdeckt werden. Entwickle eine Färbung, formuliere die notwendige Farbbilanz und erkläre präzise, was diese Bilanz nicht beweist.