Zweifärbungs-Training

Färbe ein Gitterfeld $(i,j)$ schwarz, wenn $i+j$ gerade ist, sonst weiß. Zeige, dass horizontal und vertikal benachbarte Felder verschiedene Farben besitzen.

Zeige, dass jeder waagerechte oder senkrechte $1\times2$-Domino auf einem schachbrettartig gefärbten Gitter genau ein Feld jeder Farbe bedeckt.

Von einem $8\times8$-Schachbrett werden zwei gegenüberliegende Eckfelder entfernt. Zeige, dass der Rest nicht mit Dominos überdeckt werden kann.

Ein Springer startet auf $a1$. Zeige, dass er das gleichfarbige Feld $h8$ nur nach einer geraden Anzahl von Zügen erreichen kann.

Auf jedem Feld eines geraden Weges liegt eine Lampe. Ein Zug schaltet zwei benachbarte Lampen um. Zeige: Die Parität der Differenz zwischen den angeschalteten Lampen auf ungeraden und geraden Plätzen bleibt erhalten.

Ein $8\times8$-Brett ist mit Dominos überdeckt. Zeige, dass die Anzahl der vertikalen Dominos gerade ist.

Ein Rechteck wird mit Dominos überdeckt. Links einer senkrechten Gitterlinie liegen eine gerade Anzahl Felder. Zeige, dass eine gerade Anzahl Dominos diese Linie kreuzt.

Erkläre, warum die Schachbrettfärbung die Parität vertikaler Dominos nicht bestimmen kann, die Zeilenstreifenfärbung aber schon. Formuliere daraus eine allgemeine Entwurfsregel.