Gewichtungs-Training

Ein Zug verändert $(x,y,z)$ um $(2,-1,-1)$. Bestimme zwei unabhängige lineare Invarianten.

Erlaubte Änderungen sind $(1,-1,0)$ und $(0,2,-2)$. Bestimme alle linearen Invarianten bis auf einen gemeinsamen Faktor.

Auf den Stufen $0,1,2,\ldots$ liegen Münzen. Ein Zug ersetzt eine Münze auf Stufe $k+1$ durch zwei Münzen auf Stufe $k$. Finde eine gewichtete Invariante.

Aus einer Münze auf Stufe 4 darf wiederholt eine Münze durch zwei auf der nächsttieferen Stufe ersetzt werden. Können am Ende genau 15 Münzen auf Stufe 0 und sonst keine Münzen liegen?

Die erlaubten Änderungen sind $(1,1,-1,0)$ und $(0,1,1,-1)$. Finde alle Gewichtsvektoren $(a,b,c,d)$, die lineare Invarianten liefern.

Ein System in vier Koordinaten besitzt die Zugvektoren $(1,-1,0,0)$, $(0,1,-1,0)$ und $(0,0,1,-1)$. Bestimme den Raum der linearen Invarianten.

Ein Stein der Größe $2^k$ darf in zwei Steine der Größe $2^{k-1}$ zerlegt werden; umgekehrt dürfen zwei gleich große Steine verschmolzen werden. Zeige, dass aus einem Stein der Größe 32 niemals genau drei Steine der Größe 8 und ein Stein der Größe 4 entstehen.

Erlaubt ist nur die Änderung $(2,-1,-1)$. Kann $(0,0,0)$ in $(3,1,-4)$ überführt werden? Begründe mit einer vollständigen Menge linearer Invarianten.