Strategiespiel-Training

Aus genau einem von zwei Haufen darf eine beliebige positive Zahl Steine genommen werden. Wer den letzten Stein nimmt, gewinnt. Zeige, dass $(n,n)$ für $n>0$ eine Verluststellung ist.

Beim Spiel aus Aufgabe 1 ist der Zustand $(7,4)$ gegeben. Finde eine Gewinnstrategie für die erste Person.

Auf dem Tisch liegen die Karten 1 bis 20. Abwechselnd wird eine Karte genommen; wer die letzte Karte nimmt, gewinnt. Gib der zweiten Person eine Paarungsstrategie.

Im Kartenspiel aus Aufgabe 3 möchte die zweite Person außerdem erreichen, dass die Summe ihrer eigenen Karten genau halb so groß ist wie die Summe aller Karten. Ist das mit der Paarung $k\leftrightarrow21-k$ garantiert?

Ein Spielbrett besteht aus zwei identischen, disjunkten Hälften. Pro Zug wird in genau einer Hälfte eine noch freie Gitterkante markiert; wer keinen Zug mehr hat, verliert. Zeige eine Gewinnstrategie für die zweite Person.

Die Zahlen 1 bis 100 liegen aus. Zwei Personen wählen abwechselnd eine Zahl; jede Zahl nur einmal. Zeige, dass die zweite Person sicherstellen kann, dass sie nach jeder ihrer Antworten zusammen mit dem letzten gegnerischen Zug die Summe 101 gewählt hat.

Warum kann die Anweisung „spiegle jeden Zug an der Brettmitte“ scheitern, wenn ein legaler Zug sein eigenes Spiegelbild ist? Nenne die nötige Reparaturbedingung.

Erkläre den Unterschied zwischen einer gewöhnlichen Invariante und einer Strategie-Invariante und formuliere ein vollständiges Beweisschema für Spiegel- oder Paarungsstrategien.