Zustände und Zugänderungen

Zeige: Unter dreizehn Personen haben mindestens zwei im selben Monat Geburtstag.

Zeige: Unter $n+1$ ganzen Zahlen gibt es zwei, deren Differenz durch $n$ teilbar ist.

Mehrere Haufen enthalten zusammen $S$ Steine. Ein Zug ersetzt zwei Haufen durch einen Haufen mit ihrer gemeinsamen Steinzahl. Was bleibt invariant, und wie endet jeder vollständige Prozess?

Auf einem Tisch liegen zehn Münzen mit Kopf oben. In jedem Zug werden genau drei Münzen gewendet. Kann nach einem Zug eine gerade Anzahl Köpfe oben liegen?