Polynome und Kongruenzen

Kongruenzen, Teilbarkeit und Faktorisierung · Abschnitt 49 von 64

Satz

Einsetzen in ganzzahlige Polynome

Aus $a\equiv b\pmod m$ folgt für jedes $P\in\mathbb Z[x]$ die Kongruenz $P(a)\equiv P(b)\pmod m$ .

Beweis

Aus den Rechenregeln aufgebaut

Potenzen kongruenter Zahlen sind kongruent. Ganzzahlige Vielfache und endliche Summen erhalten die Kongruenz ebenfalls. Genau daraus besteht ein ganzzahliges Polynom.

Gelöstes Beispiel

Großes Argument, kleiner Vertreter

Aus $n\equiv-1\pmod8$ folgt sofort $n^3+2n^2-5\equiv-1+2-5\equiv4\pmod8$ .

Achtung

Polynome, nicht beliebige Formeln

Die Einsetzregel rechtfertigt Addition und Multiplikation. Ein Bruch oder eine Division benötigt weiterhin eine nachgewiesene modulare Inverse.