Sperrende Module wählen

Unmöglichkeitsbeweise mit Resten · Abschnitt 45 von 64

Intuition

Lokale Unmöglichkeit genügt

Manchmal genügt ein sperrendes Modul: Zeige, dass die Gleichung modulo $m$ unmöglich ist – dann ist sie ganz unmöglich.

Entscheidungsweg

Erste Modulwahl

1
Quadrate und Parität → modulo 4.
2
Ungerade Quadrate oder drei Quadrate → modulo 8.
3
Teilbarkeit durch 3 oder Summe zweier Quadrate → modulo 3.
4
Endziffern → modulo 10, 100 oder 1000.
5
Spezielle Primzahlstruktur → Quadratreste modulo dieser Primzahl.

Gelöstes Beispiel

Summe zweier Quadrate modulo 4

Aus der Quadratreste-Menge $\{0,1\}$ entsteht für zwei Summanden nur $\{0,1,2\}$ . Eine Zahl mit Rest 3 ist daher keine Summe zweier Quadrate.

Achtung

Eine schwache Modulwahl beweist nichts

Wenn ein Zielrest in der modularen Restmenge vorkommt, ist die Gleichung dadurch weder bewiesen noch widerlegt. Dann wird ein anderes Modul oder eine zusätzliche Methode benötigt.