Ordnungen-Training

Finde $\operatorname{ord}_{13}(3)$.

Finde $\operatorname{ord}_{17}(4)$ und begründe die Minimalität.

Sei $t=\operatorname{ord}_m(a)$. Beweise: Aus $a^n\equiv1\pmod m$ folgt $t\mid n$.

Zeige für $\operatorname{ggT}(a,m)=1$: $\operatorname{ord}_m(a)\mid\varphi(m)$.

Finde $2^{2026}\pmod{11}$ mithilfe der Ordnung von 2 modulo 11.

Finde alle positiven ganzen $x$ mit $3^x\equiv9\pmod{13}$.

Sei $t=\operatorname{ord}_m(a)$. Beweise für $k>0$: $\operatorname{ord}_m(a^k)=t/\operatorname{ggT}(t,k)$.

Zeige für positive ganze $n$: $17\mid2^n+1$ genau dann, wenn $n\equiv4\pmod8$.