Generalprobe B: Beweise und Synthese

Zeige: Unter beliebigen 52 ganzen Zahlen gibt es zwei verschiedene, deren Summe oder deren Differenz durch 100 teilbar ist.

Ein Spiel startet bei 2. In jedem Zug darf die aktuelle Zahl mit 4 multipliziert oder um 9 erhöht werden. Beweise, dass 100 niemals erreicht wird.

Zeige: Für jede Primzahl $p>3$ gilt $24\mid p^2-1$.

Finde alle positiven ganzen Zahlen $n$ mit $7\mid2^n+3$ und $5\mid3^n-2$.