Wann existiert eine Inverse?

Modulare Inverse · Abschnitt 9 von 64

Intuition

Der modulare Rückwärtsgang

Eine modulare Inverse ist der „Partner“, mit dem du multiplizierst und 1 rest modulo $m$ erhältst – wie Division, aber nur wenn der ggT es erlaubt.

Definition

Multiplikative Inverse

Die Restklasse $u$ heißt Inverse von $a$ modulo $m$ , wenn $au\equiv1\pmod m$ gilt. Sie wird als $a^{-1}$ notiert.

Satz

Invertierbarkeitskriterium

$a$ besitzt modulo $m$ genau dann eine multiplikative Inverse, wenn $\operatorname{ggT}(a,m)=1$ ist.

Gelöstes Beispiel

Zwei verschiedene Fälle

Modulo 15 ist 4 invertierbar, denn $\operatorname{ggT}(4,15)=1$ und $4\cdot4\equiv1$ . Dagegen besitzt 6 keine Inverse modulo 15, weil der ggT gleich 3 ist.