Widerspruch und unendlicher Abstieg
Unmöglichkeitsbeweise mit Resten · Abschnitt 47 von 64
Strategie
Modularer Widerspruch
Nimm eine ganzzahlige Lösung an, reduziere die Gleichung modulo einem geeigneten , bestimme alle möglichen Reste und zeige, dass die verlangte Gleichheit nicht auftreten kann.
Definition
Unendlicher Abstieg
Man nimmt eine nichttriviale Lösung mit kleinstem positivem Maß an und konstruiert daraus eine weitere nichttriviale Lösung mit strikt kleinerem positivem Maß. Dies widerspricht der Wohlordnung der positiven ganzen Zahlen.
Gelöstes Beispiel
Abstieg bei drei als Faktor
Aus folgt modulo 3 zunächst , anschließend auch . Division durch 9 erzeugt dieselbe Gleichung mit kleineren Variablen.
Checkliste
Ein vollständiger Abstieg
Nichttriviale Lösung und positives Minimalmaß wählen.
Gemeinsame Teilbarkeit aller Variablen beweisen.
Neue ganzzahlige Lösung derselben Form konstruieren.
Strikte Verkleinerung des Maßes zeigen.
Widerspruch zur Minimalität formulieren.