Einsetzen und modulo kgV normieren

Kongruenzsysteme · Abschnitt 35 von 64

Strategie

Ein universelles Verfahren

Schreibe $x=a+mk$ , löse $mk\equiv b-a\pmod n$ und setze die gefundene Parameterklasse zurück. Das funktioniert für teilerfremde und nicht teilerfremde Module.

Gelöstes Beispiel

Eine Lösung modulo dreißig

Das System $x\equiv4\pmod6$ , $x\equiv10\pmod{15}$ führt auf $k\equiv1\pmod5$ und damit $x\equiv10\pmod{30}$ .

Satz

Eindeutigkeit modulo kgV

Ist das System lösbar, dann bilden alle Lösungen genau eine Restklasse modulo $\operatorname{kgV}(m,n)$ .

Checkliste

Systemlösung vollständig angeben

Kleinsten nichtnegativen Vertreter bestimmen.
Endmodul als kgV berechnen.
Beide ursprünglichen Reste prüfen.
Lösung als Kongruenzklasse statt als Einzelzahl schreiben.