Perioden sicher bestimmen

Restzyklen, Perioden und Vorperioden · Abschnitt 22 von 64

Checkliste

Eine belastbare Resttabelle

Mit Exponent 1 beginnen.
Jeden nächsten Rest durch Multiplikation mit derselben Basis erzeugen.
Den ersten wiederholten Rest samt beiden Exponenten markieren.
Start und Abstand als Zyklusdaten notieren.
Für die kleinste Periode prüfen, ob ein kürzerer Abstand funktioniert.

Erkennen

Der Rest 1 ist besonders hilfreich

Erscheint bei Exponent $t$ der Rest 1, dann beginnt bei Exponent $t+1$ wieder der Startrest $a$ . Somit ist $t$ eine Periodenlänge; sie muss aber nicht die kleinste sein.

Achtung

Eine Periode ist nicht automatisch die kleinste

Wenn eine Folge sich nach 12 Schritten wiederholt, kann ihre kleinste Periode 1, 2, 3, 4, 6 oder 12 sein. Die Resttabelle entscheidet.

Satz

Teilerfremde Basis ohne Vorperiode

Ist $\operatorname{ggT}(a,m)=1$ , beginnt der periodische Teil bereits bei $a^1$ . Eine Wiederholung darf durch eine Potenz von $a$ gekürzt werden und führt auf einen Exponenten mit Rest 1.