Parallelen und Verdopplungen

Im Dreieck $ABC$ ist $M$ Mittelpunkt von $AB$. Die Parallele durch $M$ zu $BC$ schneidet $AC$ in $N$. Zeige, dass $N$ Mittelpunkt von $AC$ ist und $MN=BC/2$ gilt.

In $\triangle ABC$ sind $M$ und $N$ die Mittelpunkte von $AB$ und $AC$. Beweise $MN\parallel BC$ und $MN=BC/2$.

Im Dreieck $ABC$ ist $D$ Mittelpunkt von $BC$. Verlängere $AD$ über $D$ hinaus zu $E$ mit $DE=AD$. Zeige, dass $ABEC$ ein Parallelogramm ist.

Für verschiedene Punkte $A,B,P,Q$ gilt $\angle APB=\angle AQB=90^\circ$. Zeige, dass $A,P,B,Q$ auf einem Kreis liegen.