Satzketten verbinden

Im gleichschenkligen Dreieck $ABC$ gilt $AB=AC$, und $M$ ist Mittelpunkt von $BC$. Zeige, dass $AM$ zugleich Höhe und Winkelhalbierende ist. Benenne jeden Satzanschluss.

Im Dreieck $ABC$ halbiert $AD$ den Winkel bei $A$, wobei $D\in BC$. Die Parallele durch $D$ zu $AC$ trifft $AB$ in $E$. Beweise $AE=DE$.

Im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ mit rechtem Winkel bei $C$ ist $M$ Mittelpunkt der Hypotenuse $AB$. Beweise $MA=MB=MC$ durch eine Verdopplungskonstruktion.

Im spitzwinkligen Dreieck $ABC$ schneiden sich die Höhen $BE$ und $CF$ in $H$, mit $E\in AC$ und $F\in AB$. Zeige, dass $A,E,H,F$ zyklisch sind.