Höhen- und Kathetensatz

Im Dreieck $ABC$ halbiert $AD$ den Winkel bei $A$, wobei $D$ auf $BC$ liegt. Beweise $BD/DC=AB/AC$.

Im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ mit rechtem Winkel bei $C$ fällt die Höhe $CD$ auf $AB$. Setze $AD=p$, $DB=q$ und $CD=h$. Beweise $h^2=pq$.

In der Situation aus Aufgabe 2 sei $AB=c$, $AC=b$ und $BC=a$. Beweise $b^2=cp$ und $a^2=cq$.

Zwei Sehnen $AB$ und $CD$ schneiden sich im Inneren eines Kreises in $P$. Beweise $PA\cdot PB=PC\cdot PD$.