Mittelpunkte und Vektoren

Im gleichschenkligen Dreieck $ABC$ gilt $AB=AC$. Wähle $B=(-b,0)$, $C=(b,0)$ und $A=(0,h)$ mit $b,h>0$. Zeige, dass die Strecke vom Scheitel $A$ zum Mittelpunkt von $BC$ zugleich Höhe und Winkelhalbierende ist.

Für ein Dreieck mit Ortsvektoren $\vec a,\vec b,\vec c$ sei $S=(\vec a+\vec b+\vec c)/3$. Zeige, dass $S$ auf jeder Mediane liegt und sie im Verhältnis $2:1$ vom Eckpunkt aus teilt.

Gegeben sind $A=(1,1)$, $B=(5,2)$ und $C=(3,9)$. Untersuche mit quadratischen Abständen, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Zeige, dass $A=(1,2)$, $B=(4,8)$ und $C=(7,14)$ kollinear sind, und bestimme das Teilungsverhältnis $AB:BC$.