Differenzen von Quadraten

Faktorzerlegung und Quadratedifferenzen · Abschnitt 10 von 64

Gelöstes Beispiel

Summe und Differenz als Faktoren

Aus $x^2-y^2=N$ wird mit $u=x-y$ , $v=x+y$ das Produkt $uv=N$ . Zurück gilt $x=(u+v)/2$ , $y=(v-u)/2$ .

Satz

Der Paritätsfilter

Die Rücktransformation ist genau dann ganzzahlig, wenn $u$ und $v$ dieselbe Parität besitzen. Daher ist eine Quadratedifferenz niemals kongruent zu 2 modulo 4.

Beweis

Warum keine Lösung fehlt

Jede Lösung erzeugt eindeutig das Faktorpaar $(x-y,x+y)$ . Umgekehrt erzeugt jedes gleichparige Faktorpaar eindeutig ein ganzzahliges Paar $(x,y)$ .

Checkliste

Quadratedifferenz lösen

Faktorisieren.
Alle geordneten Faktorpaare bilden.
Gleiche Parität verlangen.
Halbsummen zurückrechnen.
Ursprüngliche Gleichung prüfen.