Kapitel 5Fortgeschritten24 Min.
Lokale Bilder globaler Gleichungen
Lokale Lösbarkeit und modulare Hindernisse · Abschnitt 17 von 64
Satz
Globale Lösung ⇒ lokale Lösung
Ein sperrendes Modul kann eine ganze Gleichung unmöglich machen. Besitzt eine Gleichung eine ganzzahlige Lösung, so erfüllen die Reste dieser Zahlen dieselbe Gleichung modulo jedem .
Gelöstes Beispiel
Quadrat gegen Rest zwei
würde modulo 4 den Quadratrest 2 verlangen. Da Quadrate dort nur 0 oder 1 sind, ist die globale Gleichung unlösbar.
Definition
Lokal und global
„Lokal modulo lösbar“ bedeutet, dass passende Restklassen existieren. „Global lösbar“ bedeutet, dass tatsächliche ganze Zahlen die ursprüngliche Gleichung erfüllen.
Achtung
Die logische Richtung
Globale Lösbarkeit erzwingt lokale Lösbarkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht: Ein erlaubter Rest ist noch keine ganzzahlige Lösung.