Faktorisierungs-Training

Finde alle geordneten ganzzahligen Paare $(x,y)$ mit $xy=45$.

Finde alle ganzzahligen Lösungen von $x^2-y^2=21$.

Zeige: $x^2-y^2=2026$ keine ganzzahlige Lösung besitzt.

Finde alle ganzzahligen Lösungen von $x^2-y^2=60$.

Zeige für jede ganze Zahl $x$, dass $6\mid x^3-x$.

Finde alle ganzzahligen Lösungen von $x(x+1)=72$.

Finde alle ganzzahligen Lösungen des Systems $x+y=13$, $xy=36$.

Zeige: Für jedes feste $N\ne0$ besitzt $x^2-y^2=N$ nur endlich viele ganzzahlige Lösungen. Zeige außerdem, dass bei $N\equiv2\pmod4$ keine Lösung existiert.