Faktorpaare als endliche Suche

Ganzzahlige Lösungen und Gitterpunkte · Abschnitt 3 von 64

Satz

Festes Produkt, endlich viele Fälle

Führt eine Umformung auf $uv=N\ne0$ , so muss $u$ ein ganzzahliger Teiler von $N$ sein und $v=N/u$ . Damit entstehen nur endlich viele Kandidaten.

Gelöstes Beispiel

Differenz von Quadraten

$x^2-y^2=N$ wird zu $(x-y)(x+y)=N$ . Nach Wahl eines Faktorpaars $u,v$ gilt $x=(u+v)/2$ und $y=(v-u)/2$ ; beide sind nur bei gleicher Parität ganzzahlig.

Strategie

Rechteckig ergänzen

Aus $xy-ax-by=c$ entsteht durch Addition von $ab$ die Faktorisierung $(x-b)(y-a)=c+ab$ . Diese Technik löst viele Bruch- und Produktgleichungen.

Typischer Fehler

Teilerliste allein genügt nicht

Nach dem Auflisten müssen Rücktransformation, Ganzzahligkeit, Vorzeichen und die ursprüngliche Gleichung geprüft werden.