Quadratische Restklassen parametrisieren

Restklassen als Lösungsfamilien · Abschnitt 22 von 64

Strategie

Alle modularen Quadratwurzeln

Bei $x^2\equiv a\pmod m$ muss die vollständige Resttabelle gelöst werden. Zu einer Wurzel $r$ gehört häufig auch $-r$ , bei zusammengesetzten Modulen können jedoch mehr als zwei Wurzeln auftreten.

Gelöstes Beispiel

Ungerade Quadrate modulo acht

$x^2-1=8y$ ist genau für ungerade $x$ lösbar. Mit $x=2t+1$ entsteht die besonders einfache Formel $y=t(t+1)/2$ .

Achtung

Nicht immer nur plus und minus

Modulo 15 besitzt $x^2\equiv1$ vier Lösungen: 1, 4, 11 und 14. Das unkritische Übertragen der Primzahlregel würde zwei Familien verlieren.

Strategie

Quotienten vereinfachen

Setze die Restklassenform in den Quotienten ein und faktorisiere. Eine Formel wie $t(t+1)/2$ macht die Ganzzahligkeit unmittelbar sichtbar.