Von der Kongruenz zur Familie

Restklassen als Lösungsfamilien · Abschnitt 21 von 64

Satz

Kongruenz als Ganzzahligkeitskriterium

Die Gleichung $P(x)=my$ besitzt zu einem gegebenen $x$ genau dann ein ganzzahliges $y$ , wenn $P(x)\equiv0\pmod m$ .

Gelöstes Beispiel

Aus zwei Resten werden zwei Familien

Bei $x^2+1=5y$ gilt $x\equiv\pm2\pmod5$ . Jede Klasse $x=5t\pm2$ erzeugt mit $y=(x^2+1)/5$ eine vollständige Lösungsfamilie.

Beweis

Notwendigkeit und Rückrichtung

Die Ausgangsgleichung liefert notwendig die Kongruenz. Umgekehrt macht jeder Kongruenztreffer den Quotienten ganzzahlig und erfüllt nach seiner Definition wieder die Gleichung.

Checkliste

Familien vollständig bauen

Kongruenz äquivalent herleiten.
Alle Restklassen lösen.
Jede Klasse parametrisieren.
Weitere Variable berechnen.
Rückrichtung ausdrücklich prüfen.