Stammbruchgleichungen

Rechteckige Ergänzung und Bruchgleichungen · Abschnitt 14 von 64

Strategie

Nenner beseitigen, dann ergänzen

Aus $1/x+1/y=1/n$ wird $n(x+y)=xy$ und anschließend $(x-n)(y-n)=n^2$ .

Beweis

Für positive Lösungen gilt $1/x<1/n$ und $1/y<1/n$ , weil jeweils noch ein positiver Summand fehlt. Daher sind $x,y>n$ .

Satz

Jeder positive Teiler $d$ von $n^2$ erzeugt genau die geordnete Lösung $(n+d,n+n^2/d)$ . Es gibt somit $\tau(n^2)$ geordnete positive Lösungen.

Achtung

Beim Beseitigen von Nennern müssen $x,y\ne0$ festgehalten werden. Eine spätere Produktform darf keine unzulässigen Nullnenner einschleusen.