Teilerpaare vollständig erfassen

Faktorzerlegung und Quadratedifferenzen · Abschnitt 9 von 64

Satz

Feste Produkte sind endlich

Oft wird aus der Gleichung ein Produkt $uv=N$ – dann bleiben nur endlich viele Teilerpaare. Für $N\ne0$ entsprechen die geordneten ganzzahligen Lösungen von $uv=N$ genau den ganzzahligen Teilern $u$ von $N$ über $v=N/u$ .

Gelöstes Beispiel

Vorzeichen systematisch organisieren

Bei $uv=45$ liefern positive Teiler zwei positive Faktoren und negative Teiler zwei negative Faktoren. Jeder mögliche erste Faktor erzeugt genau ein geordnetes Paar.

Strategie

Eine sichere Tabelle

Erste Spalte: alle ganzzahligen Teiler $u$ .
Zweite Spalte: $v=N/u$ .
Dritte Spalte: Rücktransformation.
Vierte Spalte: Zulässigkeits- und Gleichungsprobe.

Achtung

Der Sonderfall $N=0$

Aus $uv=0$ folgt $u=0$ oder $v=0$ und häufig eine unendliche Lösungsmenge. Die endliche Teilerargumentation gilt nur für $N\ne0$ .