Ganzzahligkeit schafft Lücken

Schranken, Ungleichungen und Nachbarpotenzen · Abschnitt 53 von 64

Gelöstes Beispiel

Zwischen zwei Stufen

Perfekte Quadrate werden mit wachsendem Abstand seltener: $(n+1)^2-n^2=2n+1$ . Liegt eine ganze Zahl strikt zwischen diesen Nachbarn, kann sie selbst kein Quadrat sein. Für Kuben und höhere Potenzen gilt dieselbe Grundidee.

Satz

Nachbarpotenz-Kriterium

Gilt für ganze Zahlen $m\ge0$ , $k\ge2$ und $N$ die strikte Ungleichung $m^k<N<(m+1)^k$ , dann ist $N$ keine $k$ -te Potenz einer ganzen Zahl.