Gitterpunkte und Definitionsbereiche

Ganzzahlige Lösungen und Gitterpunkte · Abschnitt 2 von 64

Intuition

Kurve trifft Gitter

Im Koordinatensystem bilden ganzzahlige Paare ein Punktgitter. Eine diophantische Lösung ist genau ein Gitterpunkt, der auf der Kurve der Gleichung liegt – wie Schatzkisten auf einer Schatzkarte.

Gelöstes Beispiel

Eine Gerade mit regelmäßigem Schritt

Auf $3x+2y=12$ liegen die ganzzahligen Punkte $(2t,6-3t)$ . Von einem Punkt zum nächsten verändert sich $(x,y)$ um $(2,-3)$ .

Gelöstes Beispiel

Ein Kreis liefert Schranken

Aus $x^2+y^2=5$ folgt sofort $|x|,|y|\le2$ . Die unendliche Suche schrumpft auf wenige mögliche Quadrate.

Checkliste

Vor dem Rechnen

Welche Variablen sind ganzzahlig?
Sind Null und negative Werte erlaubt?
Gibt es natürliche Schranken?
Sind geordnete Paare gesucht?
Müssen symmetrische Lösungen getrennt gezählt werden?