Lineares Training

Lineare diophantische Gleichungen · Abschnitt 8 von 64

Übungen

Aufgabe

Schnell über Existenz entscheiden

Grundlagen5 Min.

Entscheide, ob $6x+9y=20$ ganzzahlige Lösungen besitzt.

Aufgabe

Eine vollständige Lösungsfamilie

Aufbau10 Min.

Finde alle ganzzahligen Lösungen von $14x+35y=7$ .

Aufgabe

Euklid und Parametrisierung

Aufbau11 Min.

Finde alle ganzzahligen Lösungen von $18x+30y=42$ .

Aufgabe

Der ggT stoppt die Suche

Grundlagen5 Min.

Zeige: $12x+18y=7$ keine ganzzahlige Lösung besitzt.

Aufgabe

Nichtnegative Lösungen filtern

Fortgeschritten12 Min.

Finde alle nichtnegativen ganzzahligen Lösungen von $7x+11y=100$ .

Aufgabe

Ein Sachproblem mit drei Lösungen

Fortgeschritten12 Min.

Ein Verein nimmt genau 121 Euro durch 5-Euro- und 8-Euro-Eintrittskarten ein. Von beiden Sorten wurde mindestens eine verkauft. Bestimme alle Möglichkeiten.

Aufgabe

Positive Lösungen vollständig zählen

Aufbau9 Min.

Finde alle positiven ganzzahligen Lösungen von $4x+6y=48$ .

Aufgabe

Warum die Parameterform vollständig ist

Olympiade15 Min.8 P.

Sei $g=\operatorname{ggT}(a,b)$ und $(x_0,y_0)$ eine ganzzahlige Lösung von $ax+by=c$ . Beweise, dass alle ganzzahligen Lösungen durch $x=x_0+\frac bg t$ und $y=y_0-\frac ag t$ mit $t\in\mathbb Z$ gegeben sind.

Zusammenfassung

Existenz, Konstruktion, Familie

Lineare diophantische Gleichungen werden in drei klaren Schritten gelöst: ggT-Kriterium, partikuläre Lösung und vollständige Parameterfamilie mit anschließender Auswertung aller Nebenbedingungen.

Checkliste

Selbstkontrolle

Entscheide ich Existenz vor dem Suchen?
Kann ich Bézout skalieren?
Sind meine Schrittweiten korrekt?
Beweise ich die Vollständigkeit?
Filtere ich positive Lösungen über den Parameter?