Methodenketten-Training

Bestimme alle ganzzahligen Paare $(x,y)$ mit $x^2-y^2=45$.

Bestimme alle ganzen Zahlen $x$ mit $x^3-x=120$.

Bestimme alle positiven ganzzahligen Paare $(x,y)$ mit $xy=(x+y)^2$.

Bestimme alle positiven Lösungen von $xy=180$, für die $\gcd(x,y)=1$ und $xy$ ein Quadrat sein soll.

Bestimme alle ganzzahligen Paare $(x,y)$ mit $x+y=11$ und $xy=24$.

Bestimme alle positiven ganzen Zahlen $x,y$ mit $\frac1x+\frac1y=\frac12$.

Bestimme alle positiven ganzen Zahlen $n$, für die $n(n+1)$ ein Quadrat ist.

Beweise mit einer Methodenkette, dass $x^2-5y^2=0$ nur die Lösung $(0,0)$ in ganzen Zahlen besitzt.