Der direkte Beweis

Direkte Beweise und Kontraposition · Abschnitt 21 von 60

Intuition

Von vorn nach hinten – ohne Umweg

Ein direkter Beweis ist wie ein gerader Weg: Du startest bei dem, was du weißt, und gehst Schritt für Schritt zur Behauptung. Kein „Angenommen, das Gegenteil …“ – nur saubere Umformungen aus den Definitionen.

Definition

Direkter Beweis

Bei einem direkten Beweis nimmst du beliebige Objekte, die die Voraussetzungen erfüllen, und leitest daraus mit gültigen Schritten die Behauptung her – ohne das Gegenteil anzunehmen.

Strategie

Dein Vier-Satz-Gerüst

Seien die Zahlen beliebig und erfüllen die Voraussetzungen.
Schreibe sie als $2k$ oder $2k+1$ (mit ganzen Hilfsbuchstaben).
Setze ein und forme um, bis $2m$ oder $2m+1$ sichtbar ist.
Sage: $m$ ist ganzzahlig – also ist die Zahl gerade/ungerade. Fertig!

Gelöstes Beispiel

Beispiel: Summe benachbarter Quadrate

Aufgabe. Zeige: Für jede ganze Zahl $n$ ist $n^2+(n+1)^2$ ungerade.

Idee. Ausmultiplizieren und 2 ausklammern.

Lösung. $n^2+(n+1)^2=2n^2+2n+1=2(n^2+n)+1.$ Weil $n^2+n$ ganzzahlig ist, ist die Summe ungerade.

Checkliste

Vollständig oder nur plausibel?

Habe ich beliebige Zahlen – nicht nur ein Beispiel wie 3 und 5?
Sind meine Hilfsbuchstaben als ganze Zahlen erklärt?
Bei Fällen: Habe ich wirklich alle Fälle erwischt?
Steht am Ende klar: „Also ist die Zahl gerade/ungerade“?