Invarianten-Training

Auf einem Tisch liegen 17 Steine. In jedem Zug werden genau zwei Steine entfernt. Kann der Tisch nach endlich vielen Zügen leer sein?

Zehn Lampen sind ausgeschaltet. Ein Zug schaltet genau zwei verschiedene Lampen jeweils um. Kann danach irgendwann genau eine Lampe leuchten?

Auf einer Tafel stehen $(0,0,0)$. In jedem Zug werden genau zwei der drei Zahlen um 1 erhöht. Kann irgendwann $(5,5,5)$ auf der Tafel stehen?

Eine Spielfigur startet auf der ganzen Zahl 7. In jedem Zug darf sie 2 addieren oder 2 subtrahieren. Bestimme alle erreichbaren ganzen Zahlen und beweise beide Richtungen.

Acht Münzen zeigen anfangs Kopf. In jedem Zug werden genau drei Münzen gewendet. Welche Parität hat die Zahl der Kopfseiten nach genau $r$ Zügen?

Auf der Tafel stehen zwei ganze Zahlen $a$ und $b$. Ein Zug addiert zu beiden Zahlen dieselbe ganze Zahl. Zeige, dass die Differenz $a-b$ invariant ist, und entscheide, ob $(4,9)$ in $(20,20)$ verwandelt werden kann.

Auf einer Tafel stehen die Zahlen $1,2,\ldots,2026$. In jedem Zug werden zwei verschiedene Tafelzahlen ausgewählt und beide um 1 erhöht. Zeige, dass niemals alle Tafelzahlen gleich sein können.