Die vollständige Falltabelle

Parität von Summen und Differenzen · Abschnitt 13 von 60

Intuition

Zwei Zahlen, vier Möglichkeiten

Jede Zahl ist G oder U. Bei zwei Zahlen gibt es also genau vier Kombinationen: G+G, G+U, U+G, U+U. Wenn du diese vier Fälle kennst, kennst du die Parität jeder Summe und Differenz – ohne die genauen Werte zu brauchen.

Satz

Summensatz

Die Summe zweier ganzer Zahlen ist

gerade, wenn beide dieselbe Parität haben (G+G oder U+U),
ungerade, wenn sie verschiedene Parität haben (G+U oder U+G).

Beweis

Beweis in vier Fällen

Schreibe die beiden Zahlen mit $2a$ (gerade) bzw. $2a+1$ (ungerade):

$2a+2b=2(a+b)$ → gerade
$2a+(2b+1)=2(a+b)+1$ → ungerade
$(2a+1)+2b=2(a+b)+1$ → ungerade
$(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)$ → gerade

Fertig: Alle vier Kombinationen sind erfasst.

Satz

Differenzsatz

Auch $x-y$ ist genau dann gerade, wenn $x$ und $y$ dieselbe Parität haben. (Subtrahieren ist wie Addieren der Gegenzahl – und die Gegenzahl hat dieselbe Parität.)

Paritätstabelle zum Merken

$x$	$y$	$x+y$	$x-y$
G	G	G	G
G	U	U	U
U	G	U	U
U	U	G	G