Gitterweg-Training

Färbe den Gitterpunkt $(x,y)$ schwarz, wenn $x+y$ gerade ist, und weiß, wenn $x+y$ ungerade ist. Welche Farben haben $(0,0)$, $(3,4)$, $(-2,5)$ und $(2026,2027)$?

Ein Weg auf dem Quadratgitter besteht aus waagerechten und senkrechten Einheitsschritten. Zeige: Seine Länge ist genau dann gerade, wenn Start- und Endpunkt dieselbe Farbe in der Färbung nach $x+y$ besitzen.

Zeige: Jeder geschlossene Weg aus waagerechten und senkrechten Einheitsschritten besitzt eine gerade Anzahl von Schritten.

Ein Roboter startet in $(0,0)$ und darf in jedem Schritt genau eine Koordinate um $1$ oder $-1$ ändern. Zeige: Jeder Weg nach $(m,n)$ hat dieselbe Längenparität wie $m+n$.

Seien $A=(a,b)$ und $B=(c,d)$ Gitterpunkte. Zeige: Der Mittelpunkt der Strecke $AB$ ist genau dann wieder ein Gitterpunkt, wenn $a$ und $c$ dieselbe Parität sowie $b$ und $d$ dieselbe Parität besitzen.

Ein Springer zieht auf einem Schachbrett bei jedem Zug um $(\pm1,\pm2)$ oder $(\pm2,\pm1)$. Zeige: Nach einer geraden Zahl von Zügen steht er auf derselben Farbe wie zu Beginn, nach einer ungeraden Zahl auf der anderen.

Ein Roboter startet in $(0,0)$ und ändert pro Schritt genau eine Koordinate um $1$ oder $-1$. Kann er nach genau 2026 Schritten in $(2026,2025)$ stehen? Begründe vollständig.