Grenzen-Training

Ein Rechteck soll mit Dominosteinen überdeckt werden. Gleich viele schwarze und weiße Felder sind vorhanden. Erkläre genau: Was folgt daraus – und was folgt nicht?

Erkläre, warum Parität nicht entscheiden kann, ob eine gerade Zahl durch 4 teilbar ist. Gib das kleinste positive Gegenpaar an.

Zeige: Das Quadrat einer ganzen Zahl lässt bei Division durch 4 nur Rest 0 oder 1.

Gesucht sind ganze Zahlen $a,b$ mit $a+b=10$ und $ab=21$. Zeige zuerst, dass die Paritätsbedingungen zusammenpassen, und entscheide dann, ob solche Zahlen existieren.

Ein Schüler schreibt: „Beim Addieren von 2 bleibt die Parität gleich. Deshalb kann man von 1 aus die Zahl 9 nicht erreichen.“ Finde den Fehler und formuliere die korrekte Aussage.

Soll entschieden werden, ob $n^3-n$ durch 3 teilbar ist. Erkläre, warum Parität dafür ungeeignet ist, und beweise die Aussage mit den passenden Restklassen.

Aus einem $4\times4$-Brett werden zwei schwarze Felder entfernt. Begründe mit Färbung, warum eine Dominoüberdeckung unmöglich ist. Erkläre anschließend, weshalb bei einem entfernten schwarzen und einem weißen Feld noch keine Überdeckung bewiesen wäre.