Teilbeweise zusammensetzen

Parität, Faktorisierung und Teilbarkeit · Abschnitt 45 von 60

Intuition

Ein Puzzle, jedes Teilwerkzeug ein Stück

Sollst du zeigen „durch 30 teilbar“, suchst du nicht auf einmal den Faktor 30. Besser:

Parität / Nachbarn → Faktor 2
Restklassen oder Nachbarn → Faktor 3 und 5
Am Ende zusammensetzen, weil $2,3,5$ teilerfremd sind.

Jedes Werkzeug hat eine klare Aufgabe.

Satz

Zusammensetzen bei Teilerfremdheit

Sind $a$ und $b$ teilerfremd (gemeinsamer Teiler nur $\pm1$ ) und ist $N$ durch $a$ und durch $b$ teilbar, dann ist $N$ durch $ab$ teilbar.

Beispiel: $2\mid N$ und $3\mid N$ → $6\mid N$ .

Achtung

Achtung bei gemeinsamen Primfaktoren

Aus $2\mid N$ und $4\mid N$ folgt nicht $8\mid N$ – nur $4\mid N$ . Gemeinsame Zweierfaktoren darfst du nicht „doppelt multiplizieren“. Zähle die Faktoren 2 genau.

Checkliste

Beweisplan in vier Schritten

Zielteiler faktorisieren (z. B. $30=2\cdot3\cdot5$ ).
Für jeden Faktor ein passendes Argument wählen.
Teilerfremdheit der Teilziele prüfen.
In einem klaren Schlusssatz zusammensetzen.