Methodenwerkstatt

Zeige: Für jede ganze Zahl $n$ ist $n^2+n+1$ ungerade. (Tipp: Schau zuerst auf $n^2+n$.)

Seien $a,b\in\mathbb Z$ und $a+b$ ungerade. Zeige: $ab$ gerade ist.

Zeige: Es gibt keine ganzen Zahlen $x,y$ mit $x^2-y^2=2026$.

Angenommen, $x^2+y^2=2026$ hat eine ganzzahlige Lösung. Welche Paritäten müssten $x$ und $y$ haben? Erkläre auch: Warum beweist das allein weder Existenz noch Unmöglichkeit?

Von einem $10\times10$-Schachbrett werden zwei gegenüberliegende Eckfelder entfernt. Zeige: der Rest nicht mit $1\times2$-Dominos überdeckt werden kann.

2025 Lampen sind ausgeschaltet. In jedem Zug schaltest du genau zwei verschiedene Lampen um. Zeige: Es kann nie vorkommen, dass alle Lampen gleichzeitig leuchten.

Ein Entwurf sagt: „Die Summe aller Handschlagzahlen ist gerade. Also gibt es eine gerade Anzahl von Personen mit ungerader Handschlagzahl.“ Was fehlt – und schreibe den Beweis vollständig.

Zeige auf zwei Arten, dass $n^2+n$ für jede ganze Zahl $n$ gerade ist: (1) Fallunterscheidung, (2) Faktorisierung. Vergleiche kurz: Welcher Weg ist hier kürzer – und welcher ist leichter übertragbar?