Zähl- und Auswahltraining

Zeige: Unter drei beliebigen ganzen Zahlen besitzen mindestens zwei dieselbe Parität.

Zeige: Unter elf ganzen Zahlen besitzen mindestens sechs dieselbe Parität.

In jeder Zeile einer $5\times5$-Tafel stehen ganze Zahlen. Zeige, dass es zwei verschiedene Zeilen gibt, deren Zeilensummen dieselbe Parität haben.

Zeige, dass man aus sieben beliebigen ganzen Zahlen vier auswählen kann, deren Summe gerade ist.

Bei einer Feier begrüßen sich einige Personen per Handschlag, jedes Paar höchstens einmal. Zeige: Die Anzahl der Personen mit einer ungeraden Zahl von Handschlägen ist gerade.

Ein Netzwerk soll 2026 Punkte besitzen. Die Verbindungszahlen von 2025 Punkten sollen genau $1,2,\ldots,2025$ sein; der letzte Punkt soll Verbindungszahl 2 haben. Kann ein solches Netzwerk existieren?

In einem Land gibt es 2025 Städte. Jede Straße verbindet genau zwei verschiedene Städte, und zwischen zwei Städten gibt es höchstens eine Straße. Zeige, dass nicht jede Stadt mit einer ungeraden Anzahl anderer Städte verbunden sein kann.