Das Gerüst eines Widerspruchsbeweises
Widerspruch und Unmöglichkeitsbeweise · Abschnitt 25 von 60
Intuition
Beweis durch „das kann nicht sein“
Manchmal ist der gerade Weg schwer. Dann gehst du wie ein Detektiv vor: Angenommen, es ginge doch … – und zeigst, dass daraus etwas Absurdes folgt (z. B. eine Zahl, die gleichzeitig gerade und ungerade ist). Dann war die Annahme falsch.
Definition
Widerspruchsbeweis
Um eine Behauptung zu beweisen, nimmst du ihr genaues Gegenteil an. Führen gültige Schlüsse daraus zu etwas Unmöglichem, muss die Annahme falsch sein – und die ursprüngliche Behauptung wahr.
Strategie
Dein Fünf-Schritte-Gerüst
Das genaue Gegenteil der Behauptung annehmen.
Daraus die Paritätsinformationen ablesen.
Eine feste Regel anwenden (Summe, Produkt, Färbung, …).
Den konkreten Widerspruch in einem Satz benennen.
Annahme verwerfen → Behauptung ist wahr.
Satz
Der elementare Paritätswiderspruch
Eine ganze Zahl kann nicht gleichzeitig gerade und ungerade sein. Ebenso kann sie nicht zugleich Rest 0 und Rest 2 modulo 4 haben.
Typischer Fehler
„Widerspruch!“ allein reicht nicht
Schreibe immer beide unverträglichen Aussagen aus, z. B.:
„Die linke Seite ist gerade, die rechte ungerade – obwohl die Gleichung sagt, es sei dieselbe Zahl.“
Erst dann ist der Beweis vollständig und nachvollziehbar.