Fünf gelöste Beispiele

Aufgabe. Was ist die Parität von $x+y$, wenn $x$ gerade und $y$ ungerade ist?

Lösung. $x=2a$, $y=2b+1$ → $x+y=2(a+b)+1$ → ungerade.

Aufgabe. Welche Parität hat die Summe dreier ungerader Zahlen?

Lösung. $(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=2(a+b+c+1)+1$ → ungerade.

Kurz: Drei ungerade Summanden = ungerade Anzahl → Summe ungerade.

Aufgabe. Welche Parität hat $(n-1)+n+(n+1)$?

Lösung. Die Summe ist $3n$. Weil $3n-n=2n$ gerade ist, haben $3n$ und $n$ dieselbe Parität.

Antwort. Dieselbe Parität wie $n$.

Aufgabe. Es gilt $a+b$ ungerade. Was weißt du über $a$ und $b$?

Lösung. Hätten $a$ und $b$ dieselbe Parität, wäre die Summe gerade. Also müssen sie verschiedene Parität haben: genau eine von beiden ist ungerade.

Aufgabe. In einer Gruppe schüttelt jede Person einigen anderen die Hand. Warum ist die Summe aller Handschlagzahlen immer gerade?

Idee. Jeder Handschlag gehört zu zwei Personen.

Lösung. Bei $H$ Handschlägen zählt die Summe aller Handschlagzahlen jeden Handschlag zweimal – also $2H$. Das ist gerade.